CZEŚĆ 1 – zbiory:

 

Wyobraź sobie zbiory dowolnych rzeczy, np. zbiór krzeseł, zbiór uczniów, …

 

Np. Zbiór krzeseł w sali 102 naszego gimnazjum składa się z 50 elementów. Tyle krzeseł jest bowiem w tej sali.

 

Zbiór uczniów klasy 3d to 30 uczniów. Czyli zbiór ten składa się z 30 elementów J

 

Zbiór książek biblioteki naszego gimnazjum jest bardzo duży. Z ilu elementów się składa, musielibyśmy zapytać pani w bibliotece.

 

A teraz zbiory liczb.

 

Zbiór liczb naturalnych jest nieskończony. Należą do niego liczby: 0, 1, 2, 3, 4, …..

 

Zbiory liczb możemy tworzyć w dowolny sposób.

 

Napiszę teraz zbiór liczbowy, składający się z 10 elementów.

 

Wymyślam dowolne liczby: {2, 4, 5,  6, -12,   -4,   0,   1,   8,  11}

 

Stworzyłam zbiór 10-elementowy.

 

Zbiór liczb można również przedstawić w postaci graficznej:

 

 

Zbiór przedstawiony powyżej składa się z 8 elementów (8 liczb).

 

A teraz stwórzmy zbiór liczb w następujący sposób:

 

Niech każdy z uczniów waszej klasy pomyśli dowolną liczbę. Następnie wypiszmy zbiór tych liczb. Zbiór tych liczb może się składać z tylu elementów, ilu uczniów liczy wasza klasa. Byłoby tak, gdyby każdy pomyślał inną liczbę. Ale może się zdarzyć tak, że niektórzy pomyślą takie same liczby. Wówczas zbiór będzie miał mniej elementów.

 

 

 

CZEŚĆ 2 – przyporządkowania:

 

Przykład 1

 

Weźmy dwa zbiory:

 

Pierwszy zbiór to zbiór uczniów waszej klasy obecnych na najbliższej matematyce.

 

Drugi zbiór to zbiór krzeseł w sali 102.

 

Siadając w sali na krzesłach, tworzycie przyporządkowanie. Czyli przyporządkowujecie sobie krzesło. Przyporządkowanie to ma takie właściwości:

 

Każdy uczeń przyporządkował sobie dokładnie jedno krzesło w sali.

 

Wszystkie osoby z pierwszego zbioru  mają przyporządkowane dokładnie jedno krzesło z drugiego zbioru.

 

 

 

Przykład2

 

Weźmy dwa zbiory:

 

Pierwszy zbiór to zbiór uczniów waszej klasy

 

Drugi zbiór to oceny, które możecie otrzymać z kartkówki, którą niedługo napiszecie.

 

Po napisaniu przez was kartkówki, adekwatnie do stanu waszej wiedzy, przyporządkuję wam oceny.

 

Przyporządkowanie to ma takie właściwości:

 

Wszystkie osoby z pierwszego zbioru   mają przyporządkowaną dokładnie jedną ocenę z drugiego zbioru.

 

 

 

Takie przyporządkowania w matematyce nazywamy funkcją.

 

 

 

Czyli, omówmy dokładniej:

 

Masz dwa zbiory. Jeśli każdy element z pierwszego zbioru, ma przyporządkowany dokładnie jeden element z drugiego zbioru, to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją.

 

 

 

Jeśli podam wam przyporządkowania i będę chciała, abyście rozpoznali, czy można je nazwać funkcją, wystarczy, że zwrócicie uwagę na to, co podkreśliłam w zdaniu: każdy element z pierwszego zbioru, ma przyporządkowany dokładnie jeden element z drugiego zbioru.

 

 

 

 

 

CZEŚĆ 3 – czy przyporządkowania można nazwać funkcją:

 

Przykład1

 

Pierwszy zbiór to uczniowie naszego gimnazjum

 

Drugi zbiór to nauczyciele naszego gimnazjum

 

Przyporządkowujemy elementom z pierwszego zbioru jego wychowawcę.

 

 

 

Odpowiedź prawidłowa, to: TAK jest to funkcja, ponieważ każdy uczeń ma przyporządkowanego dokładnie jednego wychowawcę.

 

 

 

Przykład2

 

Zbiór pierwszy to nauczyciele naszego gimnazjum

 

Zbiór drugi to nauczane w naszym gimnazjum przedmioty

 

Przyporządkowujemy nauczycielom z pierwszego zbioru nauczane przez nich przedmioty.

 

 

 

Odpowiedź prawidłowa to: NIE jest to funkcja, ponieważ niektórzy nauczyciele uczą kilku przedmiotów. Np. ja uczę matematyki i informatyki. Aby była to funkcja, każdy nauczyciel musiałby uczyć dokładnie jednego przedmiotu.

 

 

 

Przykład3

 

Pierwszy zbiór to uczniowie naszego gimnazjum

 

Drugi zbiór to książki w naszej bibliotece.

 

Przyporządkowujemy uczniom z pierwszego zbioru wypożyczone przez nich w tym momencie książki.

 

 

 

Odpowiedź prawidłowa to: NIE jest to funkcja, ponieważ niektórzy uczniowie mają wypożyczonych kilka książek. A gdyby miałaby być to funkcja, to każdy uczeń musiałby mieć wypożyczoną tylko jedną książkę.

 

Ponadto jest jeszcze drugi powód, aby powiedzieć, że nie jest to funkcja. Nie każdy uczeń z pierwszego zbioru ma wypożyczoną książkę, a gdyby miałaby być to funkcja, to każdy uczeń musiałby mieć wypożyczoną książkę. Definicja funkcji mówi bowiem jasno:

 

Jeśli każdy element z pierwszego zbioru, ma przyporządkowany dokładnie jeden element z drugiego zbioru, to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją.

Przykład4

 

Narysuję dwa zbiory liczb:

 

Przyporządkujmy liczbom z pierwszego zbioru liczby od niej dwa razy większej.

 

Połączmy to przyporządkowanie strzałkami:

 

 

Odpowiedź prawidłowa: TAK jest to funkcja, ponieważ każda liczba z pierwszego zbioru ma przyporządkowaną dokładnie jedną liczbę z drugiego zbioru.

 

 

 

Przykład5

 

Przyporządkowuję liczby pomiędzy zbiorami bez konkretnej zasady. Czy takie przyporządkowanie jest funkcją:

 

 

 

 

Odpowiedź prawidłowa: TAK jest to funkcja, ponieważ każda liczba z pierwszego zbioru ma przyporządkowaną dokładnie jedną liczbę z drugiego zbioru.

 

 

 

Przykład6

 

Przyporządkowuję liczby pomiędzy zbiorami bez konkretnej zasady. Czy takie przyporządkowanie jest funkcją:

 

 

Odpowiedź prawidłowa: NIE jest to funkcja, ponieważ nie każda liczba z pierwszego zbioru ma przyporządkowaną dokładnie jedną liczbę z drugiego zbioru. Liczbie 5 niczego nie przyporządkowano.

 

 

 

Przykład7

 

Przyporządkowuję liczby pomiędzy zbiorami bez konkretnej zasady. Czy takie przyporządkowanie jest funkcją:

 

 

Odpowiedź prawidłowa: NIE jest to funkcja, ponieważ liczba 8 z pierwszego zbioru ma przyporządkowane dwie, a nie dokładnie jedną liczbę z drugiego zbioru.

 

 

 

Zwrócić należy uwagę, że przy pojęciu funkcji ważne jest, aby

 

każdy element z pierwszego zbioru, miał przyporządkowany dokładnie jeden element z drugiego zbioru. To, czy wykorzystamy w przyporządkowaniu wszystkie elementy z drugiego zbioru nie ma najmniejszego znaczenia.

 

 

 

Zapamiętaj

Masz dwa zbiory X i Y

 

Funkcją nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi pierwszego zbioru dokładnie jednego elementu z drugiego zbioru.